Что нужно сделать, чтобы каштан пророс?

Каштанчик - сеголеток? Я могу ошибаться, но каштан, помнится не любит когда слишком влажно, и наоборот, уважает прохладу. По крайней мере, мы находили проросшие орешки глубокой осенью просто под палой листвой. Попробуйте влажный песок и прохладное темное место.

Ему нужна стратификация. Положите на землю, укройте опавшей листвой, оставьте до весны. Весной дружненько взойдут. Ваш тоже может прорасти, но шансов, что продержите проросток до весны, и он не вытянется, практически нет. В комнате слишком тепло и мало света.

удабрять

посадить его в землю и полить.